Может ли инженер по качеству выдавать от своего имени предписания работникам? Или это должно быть оформлено в виде приказа, распоряжения, инициатором которого, все же, является руководитель предприятия?

Эти вопросы должны быть отражены в документации СМК.
А так вообще лучше приказом. Инициатором (или правильнее - исполнителем) приказа является тот, кому нужен этот приказ.

А на кой нужны предписания? ИСО 9001 рекомендует внутренние проверки (аудиты), по результатам которых составляется протокол. Чем не предписание?