Вообще стажером можно и без денег. Ради опыта. В штатном расписании стажеров точно нет, разве что при разнарядке из штаб-квартиры. Чаще всего это гражданские договоры.
По-моему, сейчас в любом областном центре есть несколько десятков компаний с иностранным менеджментом. Ритейл, банки, пищевики. Надо только поискать. А под лежачий камень вода не течет. Даже в Москве.

Есть. Но про ХСЕшников, у них, не слышал. Если встречаются объявление о вакансии, то и пишут "ИОТ".

Вакансии на стажеров практически не объявляют. Это, как правило, и не вакансии вообще. Надо просто предложить им свои услуги.

Бесплатно, думаю, работодатель согласится.